Chiffrement affine

Énoncé

On assimile les $26$ lettres de l'alphabet : A, B, ..., Z aux nombres $0$ , $1$ , ..., $25$ . Le chiffrement affine consiste à coder chaque lettre de l'alphabet en appliquant à son rang $x$ (compris entre $0$ et $25$ ) une fonction affine $f(x)=ax+b$ , puis le rang $y$ de la lettre codée est le reste dans la division euclidienne de $f(x)$ par $26$ .

Autrement dit, on a $y=f(x)$ et $y\in \{0;...;25\}$ , où $f$ est la fonction de codage définie par  $f(x)\equiv ax+b[26]$  avec $a\in \mathbb{Z}$ et $b\in \mathbb{Z}$ choisis de manière pertinente.

Dans la suite de cet exercice, on suppose que la fonction de codage est $f(x)\equiv 17x+15[26]$ .

Pour répondre aux questions suivantes, on pourra utiliser un tableur.

1. Coder le mot "MATHEMATIQUES".

2. a. Déterminer un couple d'entiers $(u;v)\in {\mathbb{Z}}^2$ tels que $17u+26v=1$ .
    b. En déduire un inverse de $17$ modulo $26$ .
    c. Montrer que la fonction de décodage, c'est-à-dire la fonction $g$ telle que $x=g(y)$ , peut s'écrire : $g(y)\equiv 23y+19[26]$ .
    d. Décoder alors le mot "HLTUKZOZ".