Chiffrement affine

Énoncé

On assimile les \(26\) lettres de l'alphabet : A, B, ..., Z aux nombres \(0\) , \(1\) , ..., \(25\) . Le chiffrement affine consiste à coder chaque lettre de l'alphabet en appliquant à son rang \(x\) (compris entre \(0\) et \(25\) ) une fonction affine \(f(x)=ax+b\) , puis le rang \(y\) de la lettre codée est le reste dans la division euclidienne de \(f(x)\) par \(26\) .

Autrement dit, on a \(y=f(x)\) et \(y \in \left\lbrace 0 ; ... ;25 \right\rbrace\) , où \(f\) est la fonction de codage définie par  \(f(x) \equiv ax+b \ [26]\)  avec \(a \in \mathbb{Z}\) et \(b \in \mathbb{Z}\) choisis de manière pertinente.

Dans la suite de cet exercice, on suppose que la fonction de codage est \(f(x) \equiv 17x+15 \ [26]\) .

Pour répondre aux questions suivantes, on pourra utiliser un tableur.

1. Coder le mot "MATHEMATIQUES".

2. a. Déterminer un couple d'entiers \((u;v) \in \mathbb{Z}^2\) tels que \(17u+26v=1\) .
    b. En déduire un inverse de \(17\) modulo \(26\) .
    c. Montrer que la fonction de décodage, c'est-à-dire la fonction \(g\) telle que \(x=g(y)\) , peut s'écrire : \(g(y) \equiv 23y+19 \ [26]\) .
    d. Décoder alors le mot "HLTUKZOZ".